Question

13．已知函數(shù)f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{4}$
（1）若x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若α，β是函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{2}{3}$的兩個(gè)零點(diǎn)，且α，β的終邊不共線，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式可得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），由2kπx∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由題意可得cos（2α+$\frac{π}{3}$）=cos（2β+$\frac{π}{3}$），故2α+$\frac{π}{3}$=2kπ-（2β+$\frac{π}{3}$），k∈z，由此求得α+β 的值，可得tan（α+β ）的值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$[cos$\frac{2π}{3}$+cos2x]-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$
=-$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2s+\frac{1}{4}$
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-$\frac{2π}{3}$，0]∪[π，$\frac{4π}{3}$]．
（2）若角α，β的終邊不共線，且f（α）-$\frac{2}{3}$=f（β）-$\frac{2}{3}$，即f（α）=f（β），
∴cos（2α+$\frac{π}{3}$）=cos（2β+$\frac{π}{3}$），
∴2α+$\frac{π}{3}$=2kπ-（2β+$\frac{π}{3}$），k∈z，
∴α+β=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈z，
故 tan（α+β ）=-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查利用三角恒等變換進(jìn)行化簡求值，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，屬于中檔題．