Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+kx，x∈[0，2]．
（1）求關(guān)于x的方程f（x）=kx+3在區(qū)間[0，2]上的解；
（2）若f（x）在其定義域上的最大值為9，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)題意將函數(shù)化成分段函數(shù)，然后將方程化簡即可求解；
（2）主要是討論一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，然后分別求出最值，大中取大，注意討論的前提．

解答 解：由題意得函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+kx，x∈[0，1]}\\{2{x}^{2}+kx-1，x∈（1，2]}\end{array}\right.$$\underset{\stackrel{①}{\;}}{②}$
（1）由f（x）=kx+3結(jié)合f（x）的解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{1+kx=kx+3}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{1＜x≤2}\\{2{x}^{2}+kx-1=kx+3}\end{array}\right.$②．
顯然①無解，由②得x²=2，所以x=$±\sqrt{2}$，負(fù)值舍去，故x=$\sqrt{2}$即為所求．
（2）對(duì)于函數(shù)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+kx，x∈[0，1]}\\{2{x}^{2}+kx-1，x∈（1，2]}\end{array}\right.$$\underset{\stackrel{①}{\;}}{②}$
當(dāng)k＞0時(shí)，由①知該函數(shù)在[0，1]上遞增，故此時(shí)y_max=f（1）=1+k，由②得該函數(shù)在[1，2]上遞增，故此時(shí)y_max=f（2）=7+2k．
所以f（x）_max=f（2）=7+2k=9，解得k=1符合題意．
當(dāng)k=0時(shí)，顯然不符合題意；
當(dāng)-4≤k＜0時(shí)，由①知函數(shù)此時(shí)為減函數(shù)，
所以y_max=f（0）=1，由②知該函數(shù)在[1，2]上遞增，所以此時(shí)y_max=f（2）=7+2k，
所以f（x）_max=f（2）=7+2k=9，所以k=1（舍）；
當(dāng)k＜-4時(shí)，由①知函數(shù)在[0，1]上的最大值為f（0）=1，
而由②知此時(shí)y_max=max{f（1），f（2）}=max{1+k，7+2k}＜1，
所以此時(shí)不存在k的值使得f（x）_max=9成立．
綜上，當(dāng)k=1時(shí)，f（x）在其定義域上的最大值為9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的最值的求法，二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題以及分類討論的思想的方法．