Question

20．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），若雙曲線上存在點(diǎn)P，使得csin∠PF₁F₂=asin∠PF₂F₁≠0，則該曲線的離心率e的取值范圍是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． $（{1，\sqrt{2}}]$
• C． $（{1，\sqrt{2}+1}]$
• D． $（1，\sqrt{2}+1）$

Answer 1

分析 不防設(shè)點(diǎn)P（x，y）在右支曲線上，并注意到x≥a．利用正弦定理求得$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}=\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$，進(jìn)而根據(jù)雙曲線定義表示出|PF₁|和|PF₂|代入，可求得e的范圍．

解答 解：不妨設(shè)P（x，y）在右支曲線上，此時(shí)x≥a，
由正弦定理得$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}=\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$，所以$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{a}{c}$，
∵雙曲線第二定義得：|PF₁|=a+ex，|PF₂|=ex-a，
∴$\frac{ex-a}{ex+a}$=$\frac{a}{c}$⇒x=$\frac{a（a+c）}{ec-ea}$＞a，
分子分母同時(shí)除以a，得：$\frac{a+c}{{e}^{2}-e}$＞a，
∴$\frac{1+e}{{e}^{2}-e}$＞1解得1＜e＜$\sqrt{2}$+1，
故答案為：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題能力．