Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，再由點斜式方程，即可得到所求切線的方程；
（2）運用參數(shù)分離可得a=$\frac{lnx+2x}{{x}^{2}+x}$（x＞0），令g（x）=$\frac{lnx+2x}{{x}^{2}+x}$（x＞0），求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，畫出圖象，通過圖象討論a的范圍，即可得到所求零點個數(shù)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-2x²，導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-4x，
函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為k=-3，
切點為（1，-2），所求切線的方程為y+2=-3（x-1），
即為3x+y-1=0；
（2）由f（x）=lnx-ax²+（2-a）x=0，
可得a=$\frac{lnx+2x}{{x}^{2}+x}$（x＞0），
令g（x）=$\frac{lnx+2x}{{x}^{2}+x}$（x＞0），可得
g′（x）=$\frac{-（2x+1）（lnx+x-1）}{（{x}^{2}+x）^{2}}$，
由lnx+x-1在（0，+∞）遞增，且x=1時，ln1+1-1=0，
即有當x＞1時，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）遞減，且x→+∞，f（x）→0；
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）遞增．
可得g（x）在x=1處極大值，且為最大值1．
作出函數(shù)g（x）的圖象，可得
當a=1或a≤0時，直線y=a和函數(shù)y=g（x）的圖象有一個交點，函數(shù)f（x）有一個零點；
當0＜a＜1時，直線y=a和函數(shù)y=g（x）的圖象有兩個交點，函數(shù)f（x）有兩個零點．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)零點的判斷，注意運用參數(shù)分離和分類討論的思想方法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．