Question

5．設α，β∈（0，π），sin（α+β）=$\frac{5}{13}$，tan$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$，則tanα=$\frac{4}{3}$，cosβ=-$\frac{16}{65}$．

Answer 1

分析 由tan$\frac{α}{2}$的值，利用二倍角的正切函數公式求出tanα的值大于1，確定出α的范圍，進而sinα與cosα的值，再由sin（α+β）的值范圍求出α+β的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β-α，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值．

解答 解：∵tan$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{2}$，α∈（0，π），
∴tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{4}{3}$＞1，
∴α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∴cosα=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{3}{5}$，sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，
∵sin（α+β）=$\frac{5}{13}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cos（α+β）=-$\frac{12}{13}$，
則cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{5}{13}$×$\frac{4}{5}$=-$\frac{16}{65}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$，-$\frac{16}{65}$．

點評 此考查了二倍角的正切函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及兩角和與差的余弦函數公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵，屬于中檔題．