Question

4．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow$=（sin$\frac{3x}{2}$，cos$\frac{3x}{2}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$與|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（2）若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）代入數(shù)量積公式和模長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)；
（2）使用換元法將f（x）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cos$\frac{x}{2}$sin$\frac{3x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$=sin2x．（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=2+2sin2x．∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{2+2sin2x}$．
（2）f（x）=sin2x+2$\sqrt{1+sin2x}$．令$\sqrt{1+sin2x}$=t，則sin2x=t²-1，（1≤t≤$\sqrt{2}$）．
令g（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2．∴g（t）在[1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞增，
∴g_min（t）=g（1）=2，g_max（t）=g（$\sqrt{2}$）=1+2$\sqrt{2}$．
∴f（x）的最大值是1+2$\sqrt{2}$，f（x）的最小值是2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)恒等變換，函數(shù)的最值，換元思想，注意換元后的定義域是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．