Question

13．數(shù)列{a_n}的各項為互異正數(shù)，且其倒數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則$\frac{{a}_{1}{a}_{2}+{a}_{2}{a}_{3}+…+{a}_{2014}{a}_{2015}}{{a}_{1}{a}_{2015}}$=2014．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$=…=$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2014}}$=d≠0，通分為$\frac{{a}_{1}-{a}_{2}}{{{a}_{1}a}_{2}}$=$\frac{{a}_{2}{-a}_{3}}{{{a}_{2}a}_{3}}$=…=$\frac{{a}_{2014}{-a}_{2015}}{{{a}_{2014}a}_{2015}}$=d；求出a₁a₂、a₂a₃、…與a₂₀₁₄a₂₀₁₅，代人$\frac{{a}_{1}{a}_{2}+{a}_{2}{a}_{3}+…+{a}_{2014}{a}_{2015}}{{a}_{1}{a}_{2015}}$即可求出結(jié)果．

解答 解：數(shù)列{a_n}的各項為互異正數(shù)，且其倒數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$=…=$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2014}}$=d≠0，
∴$\frac{{a}_{1}-{a}_{2}}{{{a}_{1}a}_{2}}$=$\frac{{a}_{2}{-a}_{3}}{{{a}_{2}a}_{3}}$=…=$\frac{{a}_{2014}{-a}_{2015}}{{{a}_{2014}a}_{2015}}$=d；
∴a₁a₂=$\frac{{a}_{1}-{a}_{2}}t7nd7nj$，a₂a₃=$\frac{{a}_{2}{-a}_{3}}nhlfj5b$，…
a₂₀₁₄a₂₀₁₅=$\frac{{a}_{2014}{-a}_{2015}}zztjzhv$，
∴$\frac{{a}_{1}{a}_{2}+{a}_{2}{a}_{3}+…+{a}_{2014}{a}_{2015}}{{a}_{1}{a}_{2015}}$=$\frac{1}vxbhtlp$•$\frac{{（a}_{1}{-a}_{2}）+{（a}_{2}{-a}_{3}）+…+{（a}_{2014}{-a}_{2015}）}{{{a}_{1}a}_{2015}}$
=$\frac{1}phbth75$•$\frac{{a}_{1}{-a}_{2015}}{{{a}_{1}a}_{2015}}$
=$\frac{1}9xdhftz$•（$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$）
=$\frac{1}3rhjnzr$•（2015-1）d
=2014．
故答案為：2014．

點評 本題考查了等差數(shù)列的定義與應用問題，也考查了數(shù)列求和的應用問題，是基礎(chǔ)題目．