Question

16．已知平面向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$，滿足|${\overrightarrow a}$|=$\sqrt{2}$，|${\overrightarrow b}$|=1，$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=-1，且$\overrightarrow a$-$\overrightarrow c$與$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$的夾角為$\frac{π}{4}$，則|${\overrightarrow c}$|的最大值為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)條件便可得出向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{3π}{4}$，然后可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，并連接AC，BC，這樣由此可得到$∠AOB=\frac{3π}{4}，∠ACB=\frac{π}{4}$，這便說明O，A，C，B四點(diǎn)共圓，從而當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)$|\overrightarrow{c}|$最大．并且可以得到$\frac{\sqrt{2}}{cos∠AOC}=\frac{1}{cos（\frac{3π}{4}-∠AOC）}$，這樣便可得出AC=$2\sqrt{2}$，從而在Rt△AOC中可以求出OC的值，這樣即可得出$|\overrightarrow{c}|$的最大值．

解答 解：根據(jù)條件，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-1$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$夾角為$\frac{3π}{4}$；
如圖，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，連接AC，BC，則：

$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}，\overrightarrow{CB}=\overrightarrow-\overrightarrow{c}$；
∴$∠ACB=\frac{π}{4}$；
又$∠AOB=\frac{3π}{4}$；
∴O，A，C，B四點(diǎn)共圓；
∴當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，$|\overrightarrow{c}|$最大；
∴此時(shí)$∠A=∠B=\frac{π}{2}$，$OA=\sqrt{2}，OB=1$，$∠BOC=\frac{3π}{4}-∠AOC$；
∴$\frac{\sqrt{2}}{cos∠AOC}=\frac{1}{cos（\frac{3π}{4}-∠AOC）}$；
∴$cos∠AOC=\sqrt{2}（-\frac{\sqrt{2}}{2}cos∠AOC+\frac{\sqrt{2}}{2}sin∠AOC）$；
整理得2cos∠AOC=sin∠AOC；
∴tan∠AOC=2；
∴$AC=2\sqrt{2}$；
∴$OC=\sqrt{O{A}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{10}$；
∴$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{10}$；
即$|\overrightarrow{c}|$的最大值為$\sqrt{10}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的計(jì)算公式，向量夾角的概念及范圍，向量減法的幾何意義，圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，直徑所對(duì)的圓周角為直角，以及兩角差的余弦公式，三角函數(shù)的定義，直角三角形邊的關(guān)系．