Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax，把函數(shù)f（x）的圖象向左平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）若g（x）為偶函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（2）若2f（x）-g（x）+2（x-a）＞0對于x∈[1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由已知可得g（x）=f（x+1）為偶函數(shù)，滿足g（-x）=g（x），進而根據(jù)多項式相等的充要條件，求出實數(shù)a的值；
（2）若2f（x）-g（x）+2（x-a）＞0對于x∈[1，+∞）恒成立，即a＜

1

2

(x-

1

x

)對于x∈[1，+∞）恒成立，分析y=x-

1

x

在[1，+∞）上為增函數(shù)，進而求出其最小值，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象向左平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象
∴g（x）=f（x+1）=（x+1）²-2a（x+1）=x²+2（1-a）x-2a+1，
又∵g（x）為偶函數(shù)，
∴g（-x）=g（x），
即x²-（1-a）x-2a+1=x²+2（1-a）x-2a+1
∴a=1
（2）∵2f（x）-g（x）+2（x-a）=x²-2ax-1＞0對于x∈[1，+∞）恒成立，
故a＜

1

2

(x-

1

x

)對于x∈[1，+∞）恒成立，
∵y=x-

1

x

在[1，+∞）上為增函數(shù)，
故當x=1時，y取最小值0，
故a＜0，
即a實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的圖象與圖象變化，恒成立問題，是函數(shù)較為綜合的考查和應用，難度中檔．