Question

6．已知函數(shù)f（x）=Asin（$ωx+ϕ），（ω＞0，A＞0，ϕ∈（0，\frac{π}{2}））$部分圖象如圖所示．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式； 
（II）已知$a∈（0，\frac{π}{2}）$，且cosa=$\frac{2}{3}$，求f（a）．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)圖象求出A，ω 和φ，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）$a∈（0，\frac{π}{2}）$，且cosa=$\frac{2}{3}$，求出sina，根據(jù)函數(shù)解析式之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：：（I）由題設(shè)圖象知，最大值為2，∴A=2，
周期T=4（$\frac{π}{12}+\frac{π}{6}$）=π
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2．
∵點（$\frac{π}{12}$，2）在函數(shù)圖象上．可得2=2sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）．
即$\frac{π}{6}+$φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）
φ∈（0，$\frac{π}{2}$）
∴φ=$\frac{π}{3}$．
故得函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（II）∵$a∈（0，\frac{π}{2}）$，且cosa=$\frac{2}{3}$，
∴sina=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
可得sin2a=2×$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$，
cos2a=1-2sin²a=$-\frac{1}{9}$
那么f（a）=2sin（2a+$\frac{π}{3}$）．=2（sin2acos$\frac{π}{3}$+cos2asin$\frac{π}{3}$）=$\frac{4\sqrt{5}-\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系．