Question

13．若函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x-1]=2，則f（8）=（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，可得f（x）-log₂x-1為定值，可以設(shè)t=f（x）-log₂x-1，則f（x）=log₂x+t+1，又由f（t）=2，即log₂t+t+1=2，解可得t的值，可得f（x）的解析式，求出f（8）即可．

解答 解：根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x-1]=2，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-log₂x-1為定值，
設(shè)t=f（x）-log₂x-1，則f（x）=log₂x+t+1，
又由f（t）=2，即log₂t+t+1=2，
解可得，t=1；
則f（x）=log₂x+2，
故f（8）=5，
故選：D．

點評 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出f（x）的解析式是解題的關(guān)鍵，是一道中檔題．