Question

2．已知$\overrightarrow a=（3，4），\overrightarrow{|b}$|=3．
（1）設$\overrightarrow e$為單位向量，且$\overrightarrow e∥\overrightarrow a$，求$\overrightarrow e$的坐標；
（2）若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°，$\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$與$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的夾角為銳角，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）按$\overrightarrow{e}$的方向與$\overrightarrow{a}$的方向的關系分兩張情況計算；
（2）令（$\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）＞0，解出λ，去掉兩向量同向的特殊情況即可．

解答 解：（1）$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
當$\overrightarrow{e}$與$\overrightarrow{a}$方向相同時，$\overrightarrow{e}$=$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$=（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
當$\overrightarrow{e}$與$\overrightarrow{a}$方向相反時，$\overrightarrow{e}$=-$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$=（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$）．
（2）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos60°=$\frac{15}{2}$．
∵$\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$與$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的夾角為銳角，
∴（$\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+（λ+1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+λ${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{65}{2}+\frac{33λ}{2}$＞0．
解得$λ＞-\frac{65}{33}$．
又∵當λ=1時，$\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$與$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的方向相同．
∴λ的取值范圍是（-$\frac{65}{33}$，1）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積運算，屬于基礎題．