Question

13．在三棱錐P-ABC中，PB²=PC²+BC²，PA⊥平面ABC．
（1）求證：AC⊥BC；
（2）如果AB=4，AC=3，當(dāng)PA取何值時(shí)，使得異面直線PB與AC所成的角為60°．

Answer 1

分析 （1）由已知得PC⊥BC，PA⊥BC，由此能證明AC⊥BC．
（2）推導(dǎo)出PA⊥AC，設(shè)PA=x，由向量運(yùn)算法則能求出當(dāng)PA=$2\sqrt{5}$時(shí)，異面直線PB與AC所成的角為60⁰．

解答 （本題12分）
證明：（1）∵PB²=PC²+BC²，∴PC⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PC}）•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BC}=0+0=0$，
∴AC⊥BC；…（6分）
解：（2）∵PA⊥平面ABC，PA⊥AC，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AC}=0$，
設(shè)PA=x，又異面直線PB與AC所成的角為60⁰，
則$|{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{PB}}|×|{\overrightarrow{AC}}|cos\frac{π}{3}$．
而$|{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AC}}|=|{（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}）•\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}|$
∴$|{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}|$=$|{\overrightarrow{PB}}|×|{\overrightarrow{AC}}|cos\frac{π}{3}$，$|{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}|$=$4×3×\frac{3}{4}=9$．
∴$9=\sqrt{16+{x^2}}×3cos\frac{π}{3}$，$x=2\sqrt{5}$．
當(dāng)PA=$2\sqrt{5}$時(shí)，異面直線PB與AC所成的角為60⁰．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．