Question

20．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點M和N分別是B₁D₁和B₁C₁的中點，則異面直線AM和CN所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AM和CN所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），M（1，1，2），C（0，2，0），N（1，2，2），
$\overrightarrow{AM}$=（-1，1，2），$\overrightarrow{CN}$=（1，0，2），
設(shè)異面直線AM和CN所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{CM}|}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{CM}|}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴異面直線AM和CN所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．