Question

15．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的圓心C極坐標(biāo)為（1，$\frac{π}{2}$），半徑r=1．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）若α∈（0，$\frac{π}{2}$），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），點P的直角坐標(biāo)為（1，2），直線l交圓C于A，B兩點，求$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出圓的直角坐標(biāo)方程，再出圓C的極坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓C，得：t²+2（sinθ+cosθ）t+1=1，由直線參數(shù)方程的幾何意義能求出$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$的最小值．

解答 解：（1）∵圓C的圓心C極坐標(biāo)為（1，$\frac{π}{2}$），半徑r=1，
∴圓心C的直角坐標(biāo)C（0，1），
∴圓的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-1）²=1，即x²+y²-2y=0，
∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
（2）把直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$代入圓C：x²+（y-1）²=1，
整理，得：t²+2（sinθ+cosθ）t+1=1，
由直線參數(shù)方程的幾何意義得
|PA|+|PB|=2|sinθ+cosθ|，|PA|•|PB|=1
∴$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}|sin（θ+\frac{π}{4}）|}$，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，
當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時，$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$的最小值$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查圓的極坐標(biāo)方程的求法，考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化公式的合理運用．