Question

10．已知點(diǎn)P（a，4）在拋物線C：x²=2py（p＞0）上，P點(diǎn)到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為5
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知圓E：x²+y²=2y，過圓心E作直線l與圓E和拋物線C自左而右依次交于A、B、C、D，如果|AB|+|CD|=2|BC|，求直線l的方程：
（3）過點(diǎn)Q（2，4）的任一直線（不過P點(diǎn)）與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，直線AB與直線y=x-4交于點(diǎn)M，記直線PA、PB、PM的斜率分別為k₁、k₂、k₃．問是否存在實(shí)數(shù)λ，使得$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{λ}{{k}_{3}}$，若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出4+$\frac{p}{2}$=5，由此能求出拋物線C的方程．
（2）圓E：x²+（y-1）²=1，設(shè)l的方程為y=kx+1，聯(lián)立y=kx+1，x²=4y，得x²-4kx-4=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，|AD|=3|BC|=6，求出k，由此能求出l的方程．
（3）設(shè)AB的方程為y-4=k（x-2），由y-4=k（x-2）與x²=4y聯(lián)立，得x²-4kx-16+8k=0，求出斜率，由此能推導(dǎo)出存在實(shí)數(shù)λ，使得$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{λ}{{k}_{3}}$，且λ=2．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（a，4）在拋物線C：x²=2py（p＞0）上，P點(diǎn)到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為5，
∴4+$\frac{p}{2}$=5，∴p=2，
∴拋物線C的方程為x²=4y．
（2）圓E：x²+（y-1）²=1，設(shè)l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立y=kx+1，x²=4y，得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
∴|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，∴|AD|=3|BC|=6，
即$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{16{k}^{2}+16}$=6，
∴4（k²+1）=6，∴k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴l(xiāng)的方程y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+1．
（3）∵直線AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為y-4=k（x-2），
由y-4=k（x-2）與x²=4y聯(lián)立，得x²-4kx-16+8k=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16+8k，
∴k₁=$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}-4}$=$\frac{{x}_{1}+4}{4}$，k₂=$\frac{{x}_{2}+4}{4}$，
∴$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{4（{x}_{1}+{x}_{2}）+32}{{x}_{1}{x}_{2}+4（{x}_{1}+{x}_{2}）+16}$=$\frac{2k+4}{3k}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y-4=k（x-2）}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，得M（$\frac{2k-8}{k-1}$，$\frac{-2k-4}{k-1}$），
∴$\frac{1}{{k}_{3}}$=$\frac{k+2}{3k}$，
∴$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=2•$\frac{1}{{k}_{3}}$．
∴存在實(shí)數(shù)λ，使得$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{λ}{{k}_{3}}$，且λ=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法，考查直線方程的求法，考查實(shí)數(shù)值是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．