Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n+1=2S_n+n+1（n∈N^*），變形為：S_n+1+（n+3）=2[S_n+（n+2）]，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n，再利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1=2S_n+n+1（n∈N^*），
∴S_n+1+（n+3）=2[S_n+（n+2）]，
∴數(shù)列{S_n+（n+2）}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2，
∴S_n+n+2=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2ⁿ⁺¹-n-2．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-n-2-（2ⁿ-n-1）=2ⁿ-1．
當(dāng)n=1時(shí)式式也成立，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）b_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．