Question

已知f（x）=

x2-4x+3，x≤0 -x2-2x+3，x＞0

，不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-2）
• B、（-∞，0）
• C、（0，2）
• D、（-2，0）

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性容易判斷出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，所以根據(jù)題意得到x+a＜2a-x，即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，所以只需滿足2（a+1）＜a，解該不等式即得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：二次函數(shù)x²-4x+3的對稱軸是x=2；
∴該函數(shù)在（-∞，0]上單調(diào)遞減；
∴x²-4x+3≥3；
同樣可知函數(shù)-x²-2x+3在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
∴-x²-2x+3＜3；
∴f（x）在R上單調(diào)遞減；
∴由f（x+a）＞f（2a-x）得到x+a＜2a-x；
即2x＜a；
∴2x＜a在[a，a+1]上恒成立；
∴2（a+1）＜a；
∴a＜-2；
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）．
故選：A．

點評：考查二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及分段函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，函數(shù)單調(diào)性定義的運用，以及一次函數(shù)的單調(diào)性．