Question

過曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F作曲線C₂：x²+y²=a²的切線，設(shè)切點(diǎn)為M，延長(zhǎng)FM交曲線C₃：y²=2px（p＞0）于點(diǎn)N，其中曲線C₁與C₃有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，若點(diǎn)M為線段FN的中點(diǎn)，則曲線C₁的離心率為（　�。�

• A、

  5

• B、

  5

  2

• C、

  5

  +1
• D、

  5 +1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，0），利用O為FF'的中點(diǎn)，M為FN的中點(diǎn)，可得OM為△NFF'的中位線，從而可求|NF|，再設(shè)N（x，y） 過點(diǎn)F作x軸的垂線，由勾股定理得出關(guān)于a，c的關(guān)系式，最后即可求得離心率．

解答： 解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F'，則F'的坐標(biāo)為（c，0）
因?yàn)榍�線C₁與C₃有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，所以y²=4cx
因?yàn)镺為FF'的中點(diǎn)，M為FN的中點(diǎn)，所以O(shè)M為△NFF'的中位線，
所以O(shè)M∥PF'
因?yàn)閨OM|=a，所以|NF'|=2a
又NF'⊥NF，|FF'|=2c 所以|NF|=2b
設(shè)N（x，y），則由拋物線的定義可得x+c=2a，
∴x=2a-c
過點(diǎn)F作x軸的垂線，點(diǎn)N到該垂線的距離為2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²，即4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
得e²-e-1=0，
∴e=

5 +1

2

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查拋物線的定義，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．