Question

單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點．
（1）求證：直線AC與平面D₁EF平行；
（2）求二面角D-EF-D₁的正弦值；
（3）求直線AC與平面D₁EF的距離．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理進行證明即可，利用中位線進行證明平行即可；
（2）先找出二面角D-EF-D₁的平面角，然后在直角三角形中求出該角的正弦值即可；
（3）根據(jù)直線上任意一點到平面的距離相等可作出直線上一點到平面D₁EF的垂線，然后解三角形可求出距離．

解答： （1）證明：因為E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，
所以EF∥AC，而AC?平面D₁EF，EF?平面D₁EF，
所以直線AC∥平面D₁EF；
（2）設直線AC與直線BD相交于點O，與直線EF相交于點M，連接D₁M，
由題意可知DM⊥EF，點M為EF的中點，D₁E=D₁F，
所以D₁M⊥EF，則∠D₁MD為二面角D-EF-D₁的平面角，
由題意可得D₁D=1，DM=

3 2

4

，則D₁M=

34

4

，
則sin∠D₁MD=

1

34 4

=

2 34

17

，
所以二面角D-EF-D₁的正弦值為

2 34

17

；
（3）過點O作D₁M的垂線交D₁M于點N，則ON即為直線AC與平面D₁EF的距離．
根據(jù)△OMN∽△D₁MD，所以

ON

OM

=

D1D

D1M

，即

ON

2 4

=

1

34 4

，解得ON=

17

17

，
直線AC與平面D₁EF的距離為

17

17

．

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量、線面距離的度量等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．