Question

4．已知x，y∈R且滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ 2x+y-5≤0\\ kx-y-k-1≤0\end{array}\right.$，當(dāng)k=1時，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為$\frac{8}{3}$，若目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為7，則k的值為2．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到k的值．然后即可得到結(jié)論．

解答 解：若k=1，則不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{2x+y-5≤0}\\{x-y-2≤0}\end{array}\right.$對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

則A（1，-1），B（1，3），
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-5=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{7}{3}$，$\frac{1}{3}$），
不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為S=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{7}{3}$-1）=2×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
由z=3x+y得y=-3x+z，
平移直線y=-3x+z，則由圖象可知當(dāng)直線y=-3x+z經(jīng)過點C時，直線y=-3x+z的截距最大，此時z最大，為3x+y=7
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=7}\\{2x+y-5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（2，1），
此時A在kx-y-k-1=0上，

則2k-1-k-1=0，
得k=2．
故答案為：$\frac{8}{3}$；2；

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．