Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x²+3x|，x∈R，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1）∪（9，+∞）．

Answer 1

分析 由y=f（x）-a|x-1|=0得f（x）=a|x-1|，作出函數(shù)y=f（x），y=a|x-1|的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：由y=f（x）-a|x-1|=0得f（x）=a|x-1|，
作出函數(shù)y=f（x），y=g（x）=a|x-1|的圖象，
當(dāng)a≤0，f（x）≥0，g（x）≤0，兩個(gè)函數(shù)的圖象
不可能有4個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件；
則a＞0，此時(shí)g（x）=a|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{a（x-1），x≥1}\\{-a（x-1），x＜1}\end{array}\right.$，
當(dāng)-3＜x＜0時(shí)，f（x）=-x²-3x，g（x）=-a（x-1），
當(dāng)直線和拋物線相切時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)-x²-3x=-a（x-1），
即x²+（3-a）x+a=0，
則由△=（3-a）²-4a=0，即a²-10a+9=0，
解得a=1或a=9，
當(dāng)a=9時(shí)，g（x）=-9（x-1），g（0）=9，此時(shí)不成立，∴此時(shí)a=1，
要使兩個(gè)函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則此時(shí)0＜a＜1，
若a＞1，此時(shí)g（x）=-a（x-1）與f（x），有兩個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)只需要當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=g（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即可，
即x²+3x=a（x-1），整理得x²+（3-a）x+a=0，
則由△=（3-a）²-4a＞0，即a²-10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，
綜上a的取值范圍是（0，1）∪（9，+∞）．
故答案為：（0，1）∪（9，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．