Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x²+3x|，x∈R，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為（0，1）∪（9，+∞）．

Answer 1

分析 由y=f（x）-a|x-1|=0得f（x）=a|x-1|，作出函數(shù)y=f（x），y=a|x-1|的圖象，利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答 解：由y=f（x）-a|x-1|=0得f（x）=a|x-1|，
作出函數(shù)y=f（x），y=g（x）=a|x-1|的圖象，
當a≤0，f（x）≥0，g（x）≤0，兩個函數(shù)的圖象
不可能有4個交點，不滿足條件；
則a＞0，此時g（x）=a|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{a（x-1），x≥1}\\{-a（x-1），x＜1}\end{array}\right.$，
當-3＜x＜0時，f（x）=-x²-3x，g（x）=-a（x-1），
當直線和拋物線相切時，有三個零點，
此時-x²-3x=-a（x-1），
即x²+（3-a）x+a=0，
則由△=（3-a）²-4a=0，即a²-10a+9=0，
解得a=1或a=9，
當a=9時，g（x）=-9（x-1），g（0）=9，此時不成立，∴此時a=1，
要使兩個函數(shù)有四個零點，則此時0＜a＜1，
若a＞1，此時g（x）=-a（x-1）與f（x），有兩個交點，
此時只需要當x＞1時，f（x）=g（x）有兩個不同的零點即可，
即x²+3x=a（x-1），整理得x²+（3-a）x+a=0，
則由△=（3-a）²-4a＞0，即a²-10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，
綜上a的取值范圍是（0，1）∪（9，+∞）．
故答案為：（0，1）∪（9，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的應用，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．