Question

1．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x+2）=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=1-2|x-$\frac{1}{2}$|，求方程f[f（x）]=$\frac{5}{4（x-1）}$在區(qū)間[-1，3]上的不等實(shí)根之和．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為周期為2的函數(shù)，求得一個(gè)周期的解析式和圖象，由圖象平移可得[-1，3]的圖象，再由y=$\frac{5}{4（x-1）}$的圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱，即可得到所求根的和．

解答 解：函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x+2）=f（x），
即有函數(shù)f（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，周期為2，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=1-2|x-$\frac{1}{2}$|，
即有當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f（x）=-1+2|x+$\frac{1}{2}$|，
由圖象的平移可得在區(qū)間[-1，3]內(nèi)的函數(shù)f（x）的圖象，
進(jìn)而得到y(tǒng)=f（f（x））的圖象，再由y=$\frac{5}{4（x-1）}$的圖象
關(guān)于（1，0）對(duì)稱，可得它們有6個(gè)交點(diǎn)，都關(guān)于（1，0）對(duì)稱，
則它們的和為2×3=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)和方程的關(guān)系，考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查奇偶性和周期性、對(duì)稱性的運(yùn)用，屬于中檔題．