Question

12．二次函數(shù)f（x）滿足以下條件：①f（x+2）=f（2-x）；②最小值為-8；③f（1）=-6
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，4]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由條件f（x+2）=f（2-x）可知f（x）的對稱軸為x=2，從而可以設f（x）=a（x-2）²-8，這樣由f（1）=-6便可得到a=2，從而可得出f（x）的解析式；
（2）根據f（x）的解析式便可看出f（2）≤f（x）＜f（-1），這樣便可得出f（x）在區(qū)間（-1，4]上的值域．

解答 解：（1）f（x+2）=f（2-x）；
∴f（x）的對稱軸為x=2；
∴設f（x）=a（x-2）²-8；
∴f（1）=a-8=-6；
∴a=2；
∴f（x）=2（x-2）²-8；
（2）∵x∈（-1，4]；
∴f（2）≤f（x）＜f（-1）；
∴-8≤f（x）＜10；
∴f（x）在區(qū)間（-1，4]上的值域為[-8，10）．

點評 考查由f（x+a）=f（b-x）可以得到f（x）關于$x=\frac{a+b}{2}$對稱，待定系數(shù)求二次函數(shù)解析式的方法，配方求二次函數(shù)值域的方法，要熟悉二次函數(shù)的圖象．