Question

8．在△ABC中，D是BC的中點，|$\overrightarrow{AD}$|=3，點P在AD上，且滿足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PD}$，則$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=（　�。�

• A． 4
• B． 2
• C． -2
• D． -4

Answer 1

分析 由題意可得|$\overrightarrow{PA}$|=$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AD}$|=1，|$\overrightarrow{PD}$|=2，再由中點的向量表示，可得$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=2$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PD}$，運用向量的數(shù)量積的定義，計算即可得到所求值．

解答 解：由|$\overrightarrow{AD}$|=3，點P在AD上，且滿足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PD}$，
可得|$\overrightarrow{PA}$|=$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AD}$|=1，|$\overrightarrow{PD}$|=2，
由D是BC的中點，可得2$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$，
即有$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=2$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PD}$
=-2|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PD}$|=-2×1×2=-4．
故選D．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義，考查中點的向量表示形式，考查運算能力，屬于中檔題．