Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)的軌跡為.

   (Ⅰ)求軌跡的方程；

   (Ⅱ)設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線,，

（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；

（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值.

Answer 1

解：法一：(Ⅰ)依題意，由拋物線定義知軌跡的方程為      . (Ⅱ)拋物線的方程為，即，求導(dǎo)得       

設(shè),，其中，，

則切線,的斜率分別為,，

所以切線的方程為，即，即，

同理可得切線的方程為                   分

因?yàn)榍芯�,均過點(diǎn)，所以，，

所以為方程的兩組解

所以直線的方程為                          

①當(dāng)點(diǎn)時(shí),直線的方程為；                              

②由拋物線定義知，

所以

聯(lián)立方程 消去整理得,

故，                                      

所以

又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以

所以

所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為     

法二： (Ⅰ)設(shè)，依題意:

即    

化簡得

則軌跡的方程為                             

(Ⅱ) ① 依題意過點(diǎn)作曲線的切線，可知切線的斜率存在，設(shè)為，

 則切線的方程為，即，   

 聯(lián)立消得：     ①

由解得或

將代入①式可得，即

將代入①式可得，即

直線的方程為；                

②同法一