Question

9．如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，M為CD的中點．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．點O是線段AM的中點．

（Ⅰ）求證：平面DOB⊥平面ABCM；
（Ⅱ）求證：AD⊥BM；
（Ⅲ）過D點是否存在一條直線l，同時滿足以下兩個條件：
①l?平面BCD；②l∥AM．請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理進行判斷即可證明平面DOB⊥平面ABCM；
（Ⅱ）根據(jù)線面垂直的性質定理即可證明AD⊥BM；
（Ⅲ）利用反證法結合線面平行的性質進行證明．

解答 證明：（Ⅰ）由已知DA=DM，O是AM的中點，
∴DO⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，
DO?平面DOB，
∴平面DOB⊥平面ABCM；
（Ⅱ）在矩形ABCD中，AB=2AD，M為CD的中點，
∴AM=BM=$\sqrt{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴AM⊥BM，
由（1）知，DO⊥平面ABCM；
∵BM?平面ABCM，
∴DO⊥BM，
∵DO，AM?平面ADM，DO∩AM=0，
∴BM⊥平面ADM，
而AD?平面ADM，
∴AD⊥BM；
（Ⅲ）過D點是不存在一條直線l，同時滿足以下兩個條件：
①l?平面BCD；②l∥AM．
證明（反證法）
假設過D存在一條直線l滿足條件，
則∵l∥AM，L?平面ABCM，AM?平面ABCM，
∴l(xiāng)∥平面ABCM，
∵l?平面BCD，平面ABCM∩平面BCD=BC，
∴l(xiāng)∥BC，
即AM∥BC，
由圖易知，AM，BC相交，此時矛盾，
∴過D點不存在一條直線l滿足題設條件．

點評 本題主要考查空間直線和平面平行，垂直以及面面垂直的判定，利用相應的判定定理是解決本題的關鍵．