Question

4．圓O：x²+y²=4與拋物線y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x^2}$相交于A，B兩點(diǎn)．由圓的劣弧$\widehat{AB}$和拋物線弧$\widehat{AOB}$所包絡(luò)而成的區(qū)域記為Ω，在圓O中任取一點(diǎn)P，則P點(diǎn)取自區(qū)域Ω中的概率為（　　）

• A． $\frac{1}{2π}+\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{4π}+\frac{1}{6}$
• C． $\frac{π}{12}+\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{4}+\frac{1}{6π}$

Answer 1

分析 聯(lián)立拋物線和圓的方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)積分的幾何意義以及積分的運(yùn)算法則求出陰影部分的面積，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：將y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x^2}$代入x²+y²=4得$\frac{1}{2}$x⁴+x²=4，即x⁴+2x²-8=0，得（x²-2）（x²+4）=0，
得x²-2=0，得x=$\sqrt{2}$或x=-$\sqrt{2}$，此時(shí)y=$\frac{\sqrt{2}}{2}×2$=$\sqrt{2}$，即A（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），B（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
當(dāng)y≥0時(shí)，由x²+y²=4得y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
則陰影部分的面積S=∫${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$（$\sqrt{4-{x}^{2}}$-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x^2}$）dx=∫${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx-∫${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x^2}$dx，
∫${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx幾何意義是x²+y²=4在-$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{2}$，y≥0時(shí)的面積，
則∠AOB=$\frac{π}{2}$，S_△AOC=S_△BOD=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，
扇形的面積S=$\frac{1}{4}$π×2²=π，則∫${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=1+1+π=2+π，
∫${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x^2}$dx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$（（$\sqrt{2}$）³-（-$\sqrt{2}$）³）=$\frac{\sqrt{2}}{6}$×4$\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$，
則Ω的面積S=2+π-$\frac{4}{3}$=π+$\frac{2}{3}$，
則在圓O中任取一點(diǎn)P，則P點(diǎn)取自區(qū)域Ω中的概率P=$\frac{π+\frac{2}{3}}{π×{2}^{2}}=\frac{π+\frac{2}{3}}{4π}$=$\frac{1}{4}+\frac{1}{6π}$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)積分的幾何意義和應(yīng)用求出陰影部分的面積是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．