Question

19．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F和橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點重合，直線l過點F交拋物線于A，B兩點．
（Ⅰ）若直線l的傾斜角為135°，求|AB|的長；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，試求m+n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓和拋物線的定義即可求出p的值，求出直線l的方程，聯(lián)立方程組，得到x₁+x₂=6，根據(jù)焦點弦定理即可求出|AB|，
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=k（x-1），l與y軸交于M（0，-k），設(shè)直線l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與拋物線聯(lián)立，消元利用韋達定理，結(jié)合且$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，運用向量的坐標表示，可得m，n，由此可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）據(jù)已知得橢圓E的右焦點為F（1，0），
∴$\frac{p}{2}$=1，
故拋物線C的方程為y²=4x，
∵直線l的傾斜角為135°，
∴y=-x+1，
于是$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得到（-x+1）²=4x，即x²-6x+1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=6，
∴|AB|=p+x₁+x₂=8，
（Ⅱ）根據(jù)題意知斜率必存在，于是設(shè)方程為y=k（x-1），點M坐標為M（0，-k），
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為l與拋物線C的交點，$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得到k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∵△=16（k²+1）＞0，
∴x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
∵$\overrightarrow{MA}$=m$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=n$\overrightarrow{BF}$，
∴（x₁，y₁+k）=m（1-x₁，-y₁），（x₂，y₂+k）=n（1-x₂，-y₂），
∴m=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，n=$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$
∴m+n=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2+\frac{4}{{k}^{2}}-2}{1-2-\frac{4}{{k}^{2}}+1}$=-1

點評 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，聯(lián)立方程，利用韋達定理是關(guān)鍵，屬于中檔題．