Question

10．2015年7月，“國務(wù)院關(guān)于積極推進‘互聯(lián)網(wǎng)+’行動的指導(dǎo)意見”正式公布，在“互聯(lián)網(wǎng)+”的大潮下，我市某高中“微課堂”引入教學(xué)，某高三教學(xué)教師錄制了“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”與“概率的應(yīng)用”兩個單元的微課視頻放在所教兩個班級（A班和B班）的網(wǎng)頁上，A班（實驗班，基礎(chǔ)較好）共有學(xué)生60人，B班（普通班，基礎(chǔ)較差）共有學(xué)生60人，該教師規(guī)定兩個班的每一名同學(xué)必須在某一天觀看其中一個單元的微課視頻，第二天經(jīng)過統(tǒng)計，A班有40人觀看了“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”視頻，其他20人觀看了“概率的應(yīng)用”視頻，B班有25人觀看了“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”視頻，其他35人觀看了“概率的應(yīng)用”視頻．
（1）完成下列2×2列聯(lián)表：

	觀看“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用” 視頻人數(shù)	觀看“概率的應(yīng)用” 視頻人數(shù)	總計
A班
B班
總計

判斷是否有99%的把握認為學(xué)生選擇兩個視頻中的哪一個與班級有關(guān)？
（2）在A班中用分層抽樣的方法抽取6人進行學(xué)習(xí)效果調(diào)查；
①求抽取的6人中觀看“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”視頻的人數(shù)及觀看“概率的應(yīng)用”視頻的人數(shù)；
②在抽取的6人中再隨機抽取3人，設(shè)3人中觀看“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”視頻的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
參考公式：K²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$
參考數(shù)據(jù)：

P（x2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.05	0.025	0.010
k0	0.455	0.708	1.323	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，計算K²，對照數(shù)表即可得出結(jié)論；
（2）①利用分層抽樣原理求出對應(yīng)的數(shù)值；
②計算X的可能取值以及對應(yīng)的概率值，列出X的分布列，求出數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，完成下列2×2列聯(lián)表：

	觀看“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用” 視頻人數(shù)	觀看“概率的應(yīng)用” 視頻人數(shù)	總計
A班	40	20	60
B班	25	35	60
總計	65	55	120

計算K²=$\frac{120{×（40×35-25×20）}^{2}}{60×60×65×55}$≈7.5524＞6.635，
∴有99%的把握認為學(xué)生選擇兩個視頻中的哪一個與班級有關(guān)；
（2）在A班中用分層抽樣的方法抽取6人進行學(xué)習(xí)效果調(diào)查；
①抽取的6人中觀看“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”視頻的人數(shù)是6×$\frac{40}{60}$=4，觀看“概率的應(yīng)用”視頻的人數(shù)是6×$\frac{20}{60}$=2；
②在抽取的6人中再隨機抽取3人，設(shè)3人中觀看“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”視頻的人數(shù)為X，則X的可能取值為1、2、3，
計算P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$；
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P（X）	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

所以X的數(shù)學(xué)期望為EX=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{5}$=2．

點評 本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題，也考查了離散型隨機變量的分布列與期望的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．