Question

15．在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每月最多生產(chǎn)100臺(tái)報(bào)警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺(tái)的收入函數(shù)為R（x）=100+300x-2x²（單位元），其成本函數(shù)為C（x）=50x+400（單位元），利潤(rùn)等于收入與成本之差．
（1）求出利潤(rùn)函數(shù)p（x）及其邊際利潤(rùn)函數(shù)Mp（x）；
（2）求出的利潤(rùn)函數(shù)p（x）與其邊際利潤(rùn)函數(shù)Mp（x）是否具有相同的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用利潤(rùn)等于收入與成本之差代入可得利潤(rùn)函數(shù)p（x）的表達(dá)式，進(jìn)而利用邊際函數(shù)的定義可得邊際利潤(rùn)函數(shù)Mp（x）的表達(dá)式；
（2）通過(guò)（1）分別計(jì)算出各自的最大值，進(jìn)而比較即得結(jié)論．

解答 解：（1）p（x）=R（x）-C（x）
=（100+300x-2x²）-（50x+400）
=-2x²+250x-300（0≤x≤100，x∈N^*），
Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=[-2（x+1）²+250（x+1）-300]-（-2x²+250x-300）
=-4x+248（0≤x≤100，x∈N^*）；
（2）∵p（x）=-2x²+250x-300（0≤x≤100，x∈N^*），
∴當(dāng)x=$-\frac{250}{2×（-2）}$=62.5時(shí)p（x）取最大值，
又∵當(dāng)x=62或63時(shí)y=-2×62²+250×62-300=7512，
∴利潤(rùn)函數(shù)p（x）的最大值為7512；
∵M(jìn)p（x）=-4x+248（0≤x≤100，x∈N^*），
∴當(dāng)x=0時(shí)Mp（x）取最大值248，
∴利潤(rùn)函數(shù)p（x）與其邊際利潤(rùn)函數(shù)Mp（x）不具有相同的最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．