Question

5．如圖，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F（p，0），其中p＞0，點(diǎn)E在直線l：x=-p上，點(diǎn)F到直線x+y=0的距離等于$\sqrt{2}$，動(dòng)點(diǎn)p滿足|$\overrightarrow{PE}$|=|$\overrightarrow{FP}$|，$\overrightarrow{EP}$=λ$\overrightarrow{OF}$（λ∈R，且λ≠0）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)D（10，0），直線m：y=x+b與軌跡M交于A，B兩點(diǎn)，與線段OD相交于點(diǎn)K（K與D不重合），求△ABD面積的最大值及此時(shí)b的值．

Answer 1

分析 （1）先求出F，再利用拋物線的定義，可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M的方程；
（2）直線m：y=x+b與軌跡M聯(lián)立可得y²-4y+4b=0，求出△ABD面積，利用基本不等式求出最大值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)F（p，0），到直線x+y=0的距離等于$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|p|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵p＞0，
∴p=2，
∴F（2，0），
∵動(dòng)點(diǎn)P滿足|$\overrightarrow{PE}$|=|$\overrightarrow{FP}$|，$\overrightarrow{EP}$=λ$\overrightarrow{OF}$，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M的方程為y²=4x；
（2）直線m：y=x+b與軌跡M聯(lián)立可得y²-4y+4b=0，
∴y=2±2$\sqrt{1-b}$，
又K（-b，0），
∴△ABD面積S=$\frac{1}{2}•（10+b）•4\sqrt{1-b}$=2$\sqrt{\frac{1}{2}（10+b）（10+b）（2-2b）}$，
∵（10+b）（10+b）（2-2b）≤$（\frac{10+b+10+b+2-2b}{3}）^{3}$=$\frac{2{2}^{3}}{27}$，
∴S≤2$\sqrt{\frac{1}{2}•\frac{2{2}^{3}}{27}}$=$\frac{44}{9}\sqrt{33}$，
當(dāng)且僅當(dāng)b=-$\frac{8}{3}$時(shí)，△ABD面積的最大值為$\frac{44}{9}\sqrt{33}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查拋物線的定義，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．