Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-a|，x∈R．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥5的解集；
（II）若對(duì)于?x∈R，f（x）≥a²恒成立，求a 的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)a=1時(shí)，利用絕對(duì)值的意義求得不等式f（x）≥5的解集．
（II）利用絕對(duì)值三角不等式求得f（x）的最小值為|2+a|，結(jié)合題意可得|2+a|≥a² 恒成立，∴2+a≥a² 或 2+a≤-a²，由此求得a的取值范圍．

解答 解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥5，即|x+2|+|x-1|≥5．
而由絕對(duì)值的意義可得，|x+2|+|x-1|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而-3和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于5，故不等式f（x）≥5的解集為（-∞，-3]∪[2，+∞）．
（II）若對(duì)于?x∈R，f（x）≥a²恒成立，故f（x）=|x+2|+|x-a|≥|x+2-（x-a）|=|2+a|，
∴|2+a|≥a² 恒成立，∴2+a≥a² 或 2+a≤-a²，
求得-1≤a≤2，故a的取值范圍為[-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義、絕對(duì)值三角不等式，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．