Question

10．已知橢圓F的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），它的長軸是短軸的2倍，短軸長和拋物線y²=4x的焦準(zhǔn)距相等，在橢圓F上任意取一點P作PQ⊥x軸，垂足是Q，點C在QP的延長線上，且$\overrightarrow{QC}$=2$\overrightarrow{QP}$．
（1）求動點C的軌跡方程E；
（2）若橢圓F的左右頂點是A，B，直線AC（C和A，B不重合）與直線x-2=0交于點R，D為線段BR的中點，判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，先求出橢圓的方程，再利用代入法求動點C的軌跡方程E；
（2）設(shè)C（m，n）、R（2，t），根據(jù)三點共線得到4n=t（m+2），得R的坐標(biāo)進(jìn)而得到的坐標(biāo)，由CD斜率和點C在圓x²+y²=4上，解出直線CD方程為mx+ny-4=0，最后用點到直線的距離公式即可算出直線CD與圓x²+y²=4相切，即CD與曲線E相切．

解答 解：（1）由題意，短軸長和拋物線y²=4x的焦準(zhǔn)距相等，可得b=1，
∵長軸是短軸的2倍，∴a=2
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．  
點C在QP的延長線上，且$\overrightarrow{QC}$=2$\overrightarrow{QP}$，∴P是QC的中點，
設(shè)C（x，y），則P（x，$\frac{y}{2}$），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得動點C的軌跡方程E：x²+y²=4；               
（2）曲線E是以O(shè)（0，0）為圓心，半徑為2的圓．
設(shè)C（m，n），點R的坐標(biāo)為（2，t），
∵A、C、R三點共線，∴$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{AR}$，
而$\overrightarrow{AC}$=（m+2，n），$\overrightarrow{AR}$=（4，t），則4n=t（m+2），
∴t=$\frac{4n}{m+2}$，可得點R的坐標(biāo)為（2，$\frac{4n}{m+2}$），點D的坐標(biāo)為（2，$\frac{2n}{m+2}$），
∴直線CD的斜率為k=$\frac{mn}{{m}^{2}-4}$，
而m²+n²=4，∴-n²=m²-4，代入上式可得k=-$\frac{m}{n}$，
∴直線CD的方程為y-n=-$\frac{m}{n}$（x-m），化簡得mx+ny-4=0，
∴圓心O到直線CD的距離d=$\frac{4}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=2=r，
因此，直線CD與圓O相切，即CD與曲線E相切．

點評 本題給出橢圓及其上的動點，求橢圓的方程并用此探索直線CD與曲線E的位置關(guān)系，著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系和軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．