Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=x²（0≤x≤1），記H（a，b）為函數(shù)f（x）圖象上點(diǎn)到直線y=ax+b距離的最大值，則H（a，b）的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{16}$．

Answer 1

分析 如圖所示，我們研究平行直線系與函數(shù)f（x）=x²（0≤x≤1）圖象的關(guān)系，其中函數(shù)圖象完全在某相鄰的兩條平行直線l₁與l₂之間，圖象上的個(gè)別點(diǎn)在直線上．
設(shè)兩條平行直線l₁與l₂之間的距離為d．我們發(fā)現(xiàn)只有l(wèi)₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（1，1），l₂與圖象相切于點(diǎn)P時(shí)，H（a，b）的最小值=$\frac{1}{2}$d．求出即可得出．

解答 解：如圖所示
我們研究平行直線系與函數(shù)f（x）=x²（0≤x≤1）圖象的關(guān)系，
其中函數(shù)圖象完全在某相鄰的兩條平行直線l₁與l₂之間，圖象上的個(gè)別點(diǎn)在直線上．
設(shè)兩條平行直線l₁與l₂之間的距離為d．
我們發(fā)現(xiàn)只有l(wèi)₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（1，1），l₂與圖象相切于點(diǎn)P時(shí)，
H（a，b）的最小值=$\frac{1}{2}$d．
設(shè)P$（{x}_{0}，{x}_{0}^{2}）$，f′（x）=2x．
∵k_OA=1，∴2x₀=1，解得x₀=$\frac{1}{2}$．
∴P$（\frac{1}{2}，\frac{1}{4}）$，
直線OA的方程為：y=x．
∴d=$\frac{|\frac{1}{2}-\frac{1}{4}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$．
∴H（a，b）的最小值=$\frac{1}{2}$d=$\frac{\sqrt{2}}{16}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線的斜率、平行線之間的距離、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．