Question

13．已知O為坐標原點，P為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-y²=1（a＞0）上一點，過P作兩條漸近線的平行線交點分別為A，B，若平行四邊形OAPB的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 利用待定系數(shù)法求出求出|OB|，P點到OB的距離，利用平行四邊形OBPA的面積，求出a，可得c，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：漸近線方程是：x±ay=0，設(shè)P（m，n）是雙曲線上任一點，
過P平行于OA：x+ay=0的方程是：x+ay-m-an=0與OB方程：x-ay=0交點是B（$\frac{m+an}{2}$，$\frac{m+an}{2a}$），
|OB|=|$\frac{m+an}{2}$|$\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}$，P點到OB的距離是：d=$\frac{|m-an|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$
∵平行四邊形OAPB的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴|OB|•d=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴|$\frac{m+an}{2}$|$\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}$•$\frac{|m-an|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即$\frac{|{m}^{2}-{a}^{2}{n}^{2}|}{a}$=$\sqrt{3}$，
∵$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-{n}^{2}=1$，∴$\frac{{m}^{2}-{a}^{2}{n}^{2}}{{a}^{2}}$=1，
即m²-a²n²=a²，代入得$\frac{{a}^{2}}{a}=\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，∴c=2，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故選：D．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)平行四邊形的面積公式建立方程關(guān)系求出a是解決本題的關(guān)鍵．