Question

12．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象過點(diǎn)P（$\frac{π}{12}$，0），圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)最高點(diǎn)是Q（$\frac{π}{3}$，5），則函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（　�。�

• A． [-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]
• B． [-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]
• C． [-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]
• D． [0，$\frac{π}{3}$]

Answer 1

分析 由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$即可解得函數(shù)的增區(qū)間，比較各個(gè)選項(xiàng)即可得解．

解答 解：由題意可得A=5，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{3}$$-\frac{π}{12}$，求得ω=2，
∴y=5sin（2x+φ），
將 （$\frac{π}{3}$，5）代入解析式得：5=5sin（$\frac{2π}{3}$+φ），
∴$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
∴φ=-$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
令k=0，則有φ=-$\frac{π}{6}$，
∴y=5sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]．k∈Z．
∴k=0時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．比較各個(gè)選項(xiàng)可得函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{3}$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基本知識(shí)的考查．