Question

2．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點F₁、F₂在x軸上，M是長軸的一個端點，并且|F₁M|：|F₁F₂|=|F₁F₂|：|F₂M|，直線l：y=x截橢圓所得的弦長是2．求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），將直線y=x代入橢圓方程，求得交點，運用兩點的距離公式，再由條件可得4c²=（a-c）（a+c）=a²-c²，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程．

解答 解：設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
直線y=x代入橢圓方程，可得x=±$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
交點為（$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$），（-$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，-$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$），
弦長為$\frac{2\sqrt{2}ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=2，
即有a²+b²=2a²b²，
又|F₁M|：|F₁F₂|=|F₁F₂|：|F₂M|，
可得4c²=（a-c）（a+c）=a²-c²，
即a²=5c²，a²-b²=c²，
解得a²=$\frac{9}{8}$，b²=$\frac{9}{10}$，
即有橢圓方程為$\frac{8{x}^{2}}{9}$+$\frac{10{y}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用直線和橢圓方程聯(lián)立，求得交點，運用兩點的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．