Question

15．一緝私艇發(fā)現(xiàn)在方位角45°方向，距離12海里的海面上有一走私船正以10海里/小時(shí)的速度沿方位角為105°方向逃竄，若緝私艇的速度為14海里/小時(shí)，緝私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的時(shí)間內(nèi)追上該走私船，求追及所需時(shí)間和α角的正弦．（注：方位角是指正北方向按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)形成的角）．

Answer 1

分析 緝私艇與走私船原來(lái)的位置分別為A、C，在B處兩船相遇，由條件得到∠ACB=120°，AC=12海里，設(shè)緝私船t小時(shí)后追上該走私船，根據(jù)各自的速度表示出BC與AB，由∠ACB=120°，∠CAB=α，利用正弦定理列出關(guān)系式，求出sinα的值；由余弦定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．

解答 解：設(shè)緝私艇與走私船原來(lái)的位置分別為A、B，在C處兩船相遇，由條件知∠ABC=120°，AB=12（海里），3分
設(shè)緝私船t小時(shí)后追上該走私船，可得BC=10t，AB=14t，
∴由正弦定理$\frac{10t}{sinα}$=$\frac{14t}{sin120°}$得sinα=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
由余弦定理AB²=AC²+BC²-2ACBCcos∠ACB得：（14t）²=12²+（10t）²-240tcos120°，
解得：t=2或t=-$\frac{3}{4}$（舍），
∴t=2小時(shí)，sinα=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵．