Question

3．已知曲線C：y²+4ax=0，（a≠0），過點（-a，0）的直線L與曲線C交于A，B兩點，則以AB為直徑的圓與直線L：x=a的關系相切．

Answer 1

分析 拋物線y²=-4ax的焦點為C（-a，0），拋物線y²=-4ax的準線為L：x=a，過A作AM⊥準線L：x=a，交l于M點，過B作BN⊥準線L：x=a，交l于N點，則由拋物線的性質得AM+BN=AB，由此能求出以AB為直徑的圓與直線L：x=a的位置關系．

解答 解：∵曲線C：y²+4ax=0，（a≠0），∴y²=-4ax，（a≠0），
拋物線y²=-4ax的焦點為C（-a，0），拋物線y²=-4ax的準線為L：x=a
過點（-a，0）的直線L與曲線C交于A，B兩點，
過A作AM⊥準線L：x=a，交l于M點，
過B作BN⊥準線L：x=a，交l于N點，
則由拋物線的性質得AM+BN=AB，
設AB的中點為O，由梯形中位線定理得O到直線L：x=a的距離為|OP|=$\frac{1}{2}$（AM+BN）=$\frac{1}{2}$AB，
∴以AB為直徑的圓與直線L：x=a的關系是相切．
故答案為：相切．

點評 本題考查直線與圓的位置關系的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意拋物線的性質的合理運用．