Question

3．已知曲線C：y²+4ax=0，（a≠0），過點(diǎn)（-a，0）的直線L與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，則以AB為直徑的圓與直線L：x=a的關(guān)系相切．

Answer 1

分析 拋物線y²=-4ax的焦點(diǎn)為C（-a，0），拋物線y²=-4ax的準(zhǔn)線為L：x=a，過A作AM⊥準(zhǔn)線L：x=a，交l于M點(diǎn)，過B作BN⊥準(zhǔn)線L：x=a，交l于N點(diǎn)，則由拋物線的性質(zhì)得AM+BN=AB，由此能求出以AB為直徑的圓與直線L：x=a的位置關(guān)系．

解答 解：∵曲線C：y²+4ax=0，（a≠0），∴y²=-4ax，（a≠0），
拋物線y²=-4ax的焦點(diǎn)為C（-a，0），拋物線y²=-4ax的準(zhǔn)線為L：x=a
過點(diǎn)（-a，0）的直線L與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，
過A作AM⊥準(zhǔn)線L：x=a，交l于M點(diǎn)，
過B作BN⊥準(zhǔn)線L：x=a，交l于N點(diǎn)，
則由拋物線的性質(zhì)得AM+BN=AB，
設(shè)AB的中點(diǎn)為O，由梯形中位線定理得O到直線L：x=a的距離為|OP|=$\frac{1}{2}$（AM+BN）=$\frac{1}{2}$AB，
∴以AB為直徑的圓與直線L：x=a的關(guān)系是相切．
故答案為：相切．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線的性質(zhì)的合理運(yùn)用．