Question

已知四邊形ABCD是矩形，AB=1，BC=

3

，將△ABC沿著對角線AC折起來得到△AB₁C且頂點(diǎn)B₁在平面ACD上射影O恰落在邊AD上，如圖所示．
（1）求證：平面AB₁C⊥平面B₁CD；             
（2）求三棱錐B₁-ABC的體積VB1-ABC．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證面面垂直，需證線面垂直，根據(jù)已知，需證AB₁⊥面B₁CD，然后需證AB₁⊥CD，然后再證CD⊥面AB₁D，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，不難證明，則將以上過程逆回去，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)體積公式，由已知，容易求得△ABC的面積，而高即為B₁O，又易證△AB₁D為直角△，則斜邊AD上的高B₁O可求，則體積VB1-ABC_-ABC迎刃而解．

解答： 解：（1）∵B₁O⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴B₁O⊥CD，又CD⊥AD，AD∩B₁O=O
∴CD⊥平面AB₁D，又AB₁?平面AB₁D
∴AB₁⊥CD，又AB₁⊥B₁C，且B₁C∩CD=C
∴AB₁⊥平面B₁CD，又AB₁?平面AB₁C
∴平面AB₁C⊥平面B₁CD．
（2）由于AB₁⊥平面B₁CD，B₁D?平面ABCD，
所以AB₁⊥B₁D
在Rt△AB₁D中，B1D=

AD2-A B 2 1

=

2

，
又由B₁O•AD=AB₁•B₁D得B1O=

AB1•B1D

AD

=

6

3

，
所以VB1-ABC=

1

3

S△ABC•B1O=

1

3

×

1

2

×1×

3

×

6

3

=

2

6

．

點(diǎn)評：線面的平行、垂直的證明，主要是線線、線面、面面三者之間的平行間關(guān)系的轉(zhuǎn)化，垂直間關(guān)系的轉(zhuǎn)化，或平行與垂直間的轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用；三棱錐的體積問題，關(guān)鍵是選好底面與高，一般需要變換一下底面與頂點(diǎn)．