Question

5．已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C₁：x²+y²-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A，B．則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程是（　　）

• A． （x+$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$（在C₁內(nèi)）
• B． （x+$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$
• C． （x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$（在C₁內(nèi)）
• D． （x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)當(dāng)直線l的方程為y=kx，通過(guò)聯(lián)立直線l與圓C₁的方程，利用根的判別式大于0、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化，計(jì)算即得結(jié)論

解答 解：設(shè)當(dāng)直線l的方程為y=kx、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
與圓C₁，聯(lián)立方程組，消去y可得：（1+k²）x²-6x+5=0，
由△=36-4（1+k²）×5＞0，可得k²＜$\frac{4}{5}$，
由韋達(dá)定理，可得x₁+x₂=$\frac{6}{1+{k}^{2}}$，
∴線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的參數(shù)方程為 $x=\frac{3}{1+{k}^{2}}$，$y=\frac{3k}{1+{k}^{2}}$，其中$-\frac{2\sqrt{5}}{5}＜k＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程為：（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，其中 $\frac{5}{3}$＜x≤3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求圓的方程、直線與曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．