Question

12．設數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-a₁，且a₃，a₂+1，a₁成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-a₁，分別取n=1，2，3，可得：a₂=2a₁，a₃=4a₁．由a₃，a₂+1，a₁成等差數(shù)列．可得2（a₂+1）=a₁+a₃，解得a₁=2．再利用遞推關系、等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-a₁，∴a₁=2a₁-a₁，a₁+a₂=2a₂-a₁，a₁+a₂+a₃=2a₃-a₁，
解得a₂=2a₁，a₃=4a₁．
∵a₃，a₂+1，a₁成等差數(shù)列．
∴2（a₂+1）=a₁+a₃，
∴2（2a₁+1）=a₁+4a₁，解得a₁=2．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-a₁-（2a_n-1-a₁），化為：a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$+2（1+2+…+n）
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+2×$\frac{n（1+n）}{2}$
=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$+n+n²．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．