Question

3．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為1，點P在體對角線上，PB=$\frac{1}{3}$PB′，則P點坐標(biāo)為（　�。�

• A． （$\frac{1}{3}$$，\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）
• B． （$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）
• C． （$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{6}$，$\frac{1}{6}$）
• D． （$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)出點P（x，y，z），結(jié)合題意利用坐標(biāo)表示列出方程組，求出解即可．

解答 解：如圖所示，

設(shè)點P（x，y，z），且點B（1，1，0），B′（1，1，1），D′（0，0，1）；
∵點P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線BD′，∴x=y①，
又PB=$\frac{1}{3}$PB′，
∴（x-1）²+（y-1）²+z²=$\frac{1}{9}$[（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²]②，
又$\overrightarrow{PB}$與$\overrightarrow{BD′}$共線，∴$\frac{x-1}{-1}$=$\frac{y-1}{-1}$=$\frac{z}{1}$③；
由①②③組成方程組，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{6}}\\{y=\frac{5}{6}}\\{z=\frac{1}{6}}\end{array}\right.$；
∴P點坐標(biāo)為（$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{6}$，$\frac{1}{6}$）．
故選：C．

點評 本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示與運算問題，也考查了解方程組的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．