Question

12．已知焦點在y軸上的橢圓C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點Q（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），過橢圓的一個焦點且垂直長軸的弦長為1．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）過拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）上一點P的切線與橢圓C₁交于不同兩點M，N．點A為橢圓C₁的右頂點，記線段MN與PA的中點分別為G，H點，當直線CH與x軸垂直時，求h的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過將點Q（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）、y=c代入橢圓方程，計算即得結(jié)論；
（2）通過設(shè)P（t，t²+h），則直線MN的方程為：y=2tx-t²+h，代入橢圓方程，利用中點坐標公式及韋達定理計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵橢圓過點Q（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1$，
將y=c代入橢圓方程得：x=±$\frac{^{2}}{a}$，∴$\frac{2^{2}}{a}$=1，
解得：a=2，b=1，
∴橢圓C₁的方程為：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設(shè)P（t，t²+h），由y′=2x可知切線斜率k=2t，
∴直線MN的方程為：y=2tx-t²+h，
將其代入橢圓方程得：4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
化簡得：4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，
∵直線MN與橢圓交于不同的兩點，∴△＞0，
即△=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0              （*）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN中點橫坐標為x₀，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{t（{t}^{2}-h）}{1+{t}^{2}}$，x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{t（{t}^{2}-h）}{2（1+{t}^{2}）}$，
設(shè)線段PA中點的橫坐標為x₃，則x₃=$\frac{1+t}{2}$，
由已知有x₀=x₃，即$\frac{t（{t}^{2}-h）}{2（1+{t}^{2}）}$=$\frac{1+t}{2}$，
顯然t≠0，h=-（t+$\frac{1}{t}$+1），
當t＞0時，t+$\frac{1}{t}$≥2，當且僅當t=1時取等號，
此時h≤-3，不符合（*）式，舍去；
當t＜0時，（-t）+$\frac{1}{-t}$≥2，當且僅當t=-1時取等號，
此時h≥1，符合（*）式；
綜上所述，h的最小值為1．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．