Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞1）過點P（-1，-1），c為橢圓的半焦距，且c=$\sqrt{2}$b．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過點P作兩條相互垂直的直線l₁，l₂與橢圓C分別交于另兩點M，N，若線段MN的中點在x軸上，求此時直線MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件推導出$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，且c=$\sqrt{2}$b，由此能求出a，b，然后求解橢圓方程．
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用點差法，求出直線MN的方程．

解答 解：（Ⅰ）由c=$\sqrt{2}$b，可得a²=3b²，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞1）過點P（-1，-1），
可得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，解得a²=4，b²=$\frac{4}{3}$，
所以橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}=1$．．…（4分）
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}^{2}+3{y}_{1}^{2}=4\\{x}_{2}^{2}+3{y}_{2}^{2}=4\end{array}\right.$，
兩式相減得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
因為線段MN的中點在x軸上，
所以y₁+y₂=0，從而可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0．…（7分）
若x₁+x₂=0，則N（-x₁，-y₁）．
因為過點P作兩條相互垂直的直線l₁，l₂，所以PM⊥PN，
所以$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$，得x₁²+y₁²=2．
又因為x₁²+3y₁²=4，所以解得x₁=±1，
所以M（-1，1），N（1，-1）或M（1，-1），N（-1，1）．
所以直線MN的方程為y=-x．…（10分）
若x₁-x₂=0，則N（x₁，-y₁），
因為PM⊥PN，所以$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$，得y₁²=（x₁+1）²+1．
又因為x₁²+3y₁²=4，所以解得x₁=-$\frac{1}{2}$或-1，
經(jīng)檢驗：x=-$\frac{1}{2}$滿足條件，x=-1不滿足條件．
綜上，直線MN的方程為x+y=0或x=-$\frac{1}{2}$．…（13分）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓方程的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．