Question

8．點A為平面α內一點，點B為平面α外一點，直線AB與平面α成60°角，平面α內有一動點P，當∠ABP=45°時，則動點P的軌跡為（　�。�

• A． 橢圓
• B． 圓
• C． 雙曲線的一支
• D． 拋物線

Answer 1

分析 根據圓錐曲線的定義，平面α的AB交α于B點，且與α所成角為θ，平面α內一動點C滿足∠BAC=φ，可得：①若θ=$\frac{π}{2}$，則動點C的軌跡為圓，②若θ＜$\frac{π}{2}$，且φ＜θ時，動點C的軌跡為橢圓；③若θ＜$\frac{π}{2}$，且φ=θ時，動點C的軌跡為拋物線；④若θ＜$\frac{π}{2}$，且φ＞θ時，動點C的軌跡為雙曲線；即可得出．

解答 解：平面α上的動點P滿足∠PAB=45°，
可理解為P在以AB為軸的圓錐的側面上，
再由斜線段AB與平面α所成的角為60°，
可知P的軌跡符合圓錐曲線中橢圓定義．
可知動點P的軌跡是橢圓．
故選：A．

點評 本題考查了空間點線面的關系、圓錐曲線的定義，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．