Question

18．等差數(shù)列{a_n}滿足a₅=5，S₇=28，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，其中b₁=1，b_n+1-T_n=1，
（1）求數(shù)列{a_n}及數(shù)列{b_n}的通項公式
（2）若不等式（-1）ⁿλ＜$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$對一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)和定義，以及數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列{a_n}及數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）M_n=$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=1•（$\frac{1}{2}$）⁰+2•（$\frac{1}{2}$）¹+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，根據(jù)錯位相減法求出其和，則可轉(zhuǎn)化為$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=4-（$\frac{1}{2}$）^n-1，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，可以求出數(shù)列的最小值，即可求出λ的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)公差為d，首項為a₁，
∵a₅=5，S₇=28，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=5}\\{7{a}_{1}+\frac{1}{2}×7×（7-1）d=28}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+1×（n-1）=n，
∵b_n+1-T_n=1，
即T_n=b_n+1-1，
∴T_n-1=b_n-1，
∴b_n=T_n-T_n-1=b_n+1-1-b_n+1，
∴2b_n=b_n+1，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=2，
∴數(shù)列{b_n}為公比為2的等比數(shù)列，
∵b₁=1，
∴b_n=2^n-1；
（2）∵$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
設(shè)M_n=$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=1•（$\frac{1}{2}$）⁰+2•（$\frac{1}{2}$）¹+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴$\frac{1}{2}$M_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$M_n=1+（$\frac{1}{2}$）¹+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=1+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=2-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴M_n=4-（n+2）（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=4-（n+2）（$\frac{1}{2}$）^n-1+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1=4-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
設(shè)c_n=4-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
則數(shù)列{c_n}為遞增數(shù)列，
∴{c_n}的最小值為c₁=4-1=3，
∵（-1）ⁿλ＜$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$對一切n∈N^*恒成立，
∴λ＜3，
故λ的取值范圍為（-∞，3）

點評 本題考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式的求法和錯位相減法求數(shù)列的前n項和，以及數(shù)列的函數(shù)特征，屬于中檔題．