Question

3．已知橢圓C的焦點與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的焦點相同，且該橢圓的離心率是$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）直線l過原點且斜率為$\frac{4}{3}$，求以橢圓的右焦點為圓心且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線的焦點，設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得c=2，由離心率公式可得a，再由a，b，c的關(guān)系可得b，進而得到橢圓方程；
（2）求出直線l的方程，圓的方程可設(shè)為（x-2）²+y²=r²，（r＞0），運用直線和圓相切的條件：d=r，運用點到直線的距離公式，可得半徑r，進而得到圓的方程．

解答 解：（1）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的焦點為（-2，0），（2，0），
設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
可得c=2，
橢圓的離心率是$\frac{1}{2}$，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
即有a=4，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
則橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）直線l過原點且斜率為$\frac{4}{3}$，可得
直線l的方程為y=$\frac{4}{3}$x，即4x-3y=0，
由題意圓的方程可設(shè)為（x-2）²+y²=r²，（r＞0），
由直線和圓相切的條件可得r=$\frac{|4×2-3×0|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{8}{5}$，
則所求圓的方程為（x-2）²+y²=$\frac{64}{25}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用雙曲線的焦點和橢圓離心率公式，考查圓的方程的求法，注意運用直線和圓相切的條件：d=r，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．