Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+a}$
（1）若a=1，試證明函數(shù)f（x）為偶函數(shù)且在（-∞，0）上為增函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值，并判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的定義，導數(shù)知識即可解決；
（2）利用奇函數(shù)的定義求a的值，導數(shù)知識即可解決函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．

解答 （1）證明：a=1，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，
∴f（-x）=$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∵x＜0，f′（x）=$\frac{{2}^{x}（{4}^{x}+1）ln2-{2}^{x}•{4}^{x}ln4}{（{4}^{x}+1）^{2}}$=$\frac{{2}^{x}•ln2}{（{4}^{x}+1）^{2}}$（1-4^x）＞0，
∵函數(shù)在（-∞，0）上為增函數(shù)；
（2）解：若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+a}$+$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+a}$=0
∴1+a•4^x+4^x+a=0，
∴a=-1，
f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}-1}$，∴f′（x）=$\frac{-{2}^{x}（{4}^{x}+1）ln2}{（{4}^{x}-1）^{2}}$，
∵x＜0，
∴f′（x）＞0，
∵函數(shù)在（-∞，0）上為增函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于中檔題．